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分析：

根据定义，一棵二叉树 T存在节点p∈T，满足时，它是不平衡的。下图中每个节点的高度都被标记出来，高亮区域是一棵不平衡子树。

平衡子树暗示了一个事实，每棵子树也是一个子问题。
现在的问题是：按照什么顺序处理这些子问题？

方法一：从底至顶（提前阻断）

此方法为本题的最优解法，但“从底至顶”的思路不易第一时间想到。

思路是对二叉树做先序遍历，从底至顶返回子树最大高度，若判定某子树不是平衡树则 “剪枝” ，直接向上返回。

算法流程：

recur(root):

• 递归返回值：
  1. 当节点root 左 / 右子树的高度差 < 2 ：则返回以节点root为根节点的子树的最大高度，即节点 root 的左右子树中最大高度（代表此节点root的高度）加 1。（ max(left, right) + 1 ）
  2. 当节点root 左 / 右子树的高度差 ≥2 ：则返回 -1 ，代表 此子树不是平衡树 。
• 递归终止条件：
  1. 当越过叶子节点时，返回高度 0；
  2. 当左（右）子树高度 left== -1 时，代表此子树的 左（右）子树 不是平衡树，因此直接返回 -1 ；

isBalanced(root) ：

• 返回值： 若 recur(root) != 1 ，则说明此树平衡，返回 true； 否则返回 false 。

代码：

class Solution {
    public boolean isBalanced(TreeNode root) {
        return recur(root) != -1;
    }

    private int recur(TreeNode root) {
        if (root == null) return 0;
        int left = recur(root.left);
        if(left == -1) return -1;
        int right = recur(root.right);
        if(right == -1) return -1;
        return Math.abs(left - right) < 2 ? Math.max(left, right) + 1 : -1;
    }
}

复杂度分析：

• 时间复杂度 O(N)： N 为树的节点数；最差情况下，需要递归遍历树的所有节点。
• 空间复杂度 O(N)： 最差情况下（树退化为链表时），系统递归需要使用 O(N）的栈空间。

从顶至底（暴力法）

此方法容易想到，但会产生大量重复计算，时间复杂度较高。

思路是构造一个获取当前节点最大深度的方法 depth(root) ，通过比较此子树的左右子树的最大高度差abs(depth(root.left) - depth(root.right))，来判断此子树是否是二叉平衡树。若树的所有子树都平衡时，此树才平衡。

算法流程：

isBalanced(root) ：判断树 root 是否平衡

• 特例处理： 若树根节点 root 为空，则直接返回 true ；
• 返回值：所有子树都需要满足平衡树性质，因此以下三者使用与逻辑&&连接；
  1. abs(self.depth(root.left) - self.depth(root.right)) <= 1 ：判断 当前子树 是否是平衡树；
  2. self.isBalanced(root.left) ： 先序遍历递归，判断 当前子树的左子树 是否是平衡树；
  3. self.isBalanced(root.right) ： 先序遍历递归，判断 当前子树的右子树 是否是平衡树；

depth(root) ： 计算树 root 的最大高度

• 终止条件： 当 root 为空，即越过叶子节点，则返回高度 0 ；
• 返回值： 返回左 / 右子树的最大高度加 1 。

代码

class Solution {
    public boolean isBalanced(TreeNode root) {
        if (root == null) return true;
        return Math.abs(depth(root.left) - depth(root.right)) <= 1 && isBalanced(root.left) && isBalanced(root.right);
    }

    private int depth(TreeNode root) {
        if (root == null) return 0;
        return Math.max(depth(root.left), depth(root.right)) + 1;
    }
}

复杂度分析：

• 时间复杂度 O(Nlog_2 N)： 最差情况下， isBalanced(root) 遍历树所有节点，占用 O(N) ；判断每个节点的最大高度 depth(root) 需要遍历 各子树的所有节点 ，子树的节点数的复杂度为 O*(log2N) 。
  Balanced(root)遍历树所有节点，占用 O(N) ；判断每个节点的最大高度depth(root)` 需要遍历 各子树的所有节点 ，子树的节点数的复杂度为 O*(log2N) 。
• 空间复杂度 O(N)： 最差情况下（树退化为链表时），系统递归需要使用 O(N)的栈空间。