前言：

这道题其实是236.二叉搜索树的最近公共祖先的特殊情况版，其中的二叉树变为了二叉搜索树。

我在另一篇博客中也有详细解析，地址是：【LeetCode】236.二叉树的最近公共祖先（后序遍历 DFS ，清晰图解）

有兴趣的朋友可以看看，加深对二叉树的理解。

题目

地址：https://leetcode-cn.com/problems/lowest-common-ancestor-of-a-binary-search-tree/

解析：

我们来复习一下二叉搜索树（BST）的性质：

1. 节点 NN 左子树上的所有节点的值都小于等于节点 NN 的值
2. 节点 NN 右子树上的所有节点的值都大于等于节点 NN 的值
3. 左子树和右子树也都是 BST

解题思路：

祖先的定义： 若节点 p 在节点 root的左（右）子树中，或 p = root，则称 root是 p的祖先。

最近公共祖先的定义： 设节点 root为节点 p,q的某公共祖先，若其左子节点 root.left和右子节点 root.right都不是 p,q 的公共祖先，则称 root是 “最近的公共祖先” 。

根据以上定义，若 root是 p,q 的 最近公共祖先 ，则只可能为以下情况之一：

1. p和 q在 root的子树中，且分列 root 的 异侧（即分别在左、右子树中）；
2. p = root，且 q在 root 的左或右子树中；
3. q = root，且 p 在 root的左或右子树中；

本题给定了两个重要条件：① 树为 二叉搜索树 ，② 树的所有节点的值都是 唯一 的。根据以上条件，可方便地判断 p,q与 root的子树关系，即：

• 若 root.val < p.val ，则 p 在 root 右子树 中；
• 若 root.val > p.val，则 p 在 root 左子树 中；
• 若 root.val = p.val，则 p和 root 指向 同一节点 。

方法一：迭代

1. 循环搜索：

   当节点 root为空时跳出；

   1. 当 p, q 都在 root的 右子树 中，则遍历至 root.right ；
   2. 否则，当 p, q 都在 root的 左子树 中，则遍历至 root.left；
   3. 否则，说明找到了 最近公共祖先 ，跳出。

2. 返回值： 最近公共祖先 root 。

复杂度分析：

• 时间复杂度 O(N) 其中 NN 为二叉树节点数；每循环一轮排除一层，二叉搜索树的层数最小为 \log NlogN （满二叉树），最大为 NN （退化为链表）。
• 空间复杂度 O(1) 使用常数大小的额外空间。

代码：

class Solution {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        while(root != null) {
            if(root.val < p.val && root.val < q.val) // p,q 都在 root 的右子树中
                root = root.right; // 遍历至右子节点
            else if(root.val > p.val && root.val > q.val) // p,q 都在 root 的左子树中
                root = root.left; // 遍历至左子节点
            else break;
        }
        return root;
    }
}

优化：若可保证 p.val < q.val，则在循环中可减少判断条件。

class Solution {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        if(p.val > q.val) { // 保证 p.val < q.val
            TreeNode tmp = p;
            p = q;
            q = tmp;
        }
        while(root != null) {
            if(root.val < p.val) // p,q 都在 root 的右子树中
                root = root.right; // 遍历至右子节点
            else if(root.val > q.val) // p,q 都在 root 的左子树中
                root = root.left; // 遍历至左子节点
            else break;
        }
        return root;
    }
}

方法二：递归

1. 递推工作：
   1. 当 p, q 都在 root的 右子树 中，则开启递归 root.right 并返回；
   2. 否则，当 p, q 都在 root 的 左子树 中，则开启递归 root.left 并返回；
2. 返回值： 最近公共祖先 root。

复杂度分析：

• 时间复杂度 O(N) ： 其中 N为二叉树节点数；每循环一轮排除一层，二叉搜索树的层数最小为 logN （满二叉树），最大为 N（退化为链表）。
• 空间复杂度 O(N)： 最差情况下，即树退化为链表时，递归深度达到树的层数 NN 。

代码：

class Solution {
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
        if(root.val < p.val && root.val < q.val)
            return lowestCommonAncestor(root.right, p, q);
        if(root.val > p.val && root.val > q.val)
            return lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
        return root;
    }
}