44. 通配符匹配

难度困难

给定一个字符串 (s) 和一个字符模式 (p) ，实现一个支持 '?' 和 '*' 的通配符匹配。

'?' 可以匹配任何单个字符。
'*' 可以匹配任意字符串（包括空字符串）。

两个字符串完全匹配才算匹配成功。

说明:

• s 可能为空，且只包含从 a-z 的小写字母。
• p 可能为空，且只包含从 a-z 的小写字母，以及字符 ? 和 *。

示例 1:

输入:
s = "aa"
p = "a"
输出: false
解释: "a" 无法匹配 "aa" 整个字符串。

示例 2:

输入:
s = "aa"
p = "*"
输出: true
解释: '*' 可以匹配任意字符串。

示例 3:

输入:
s = "cb"
p = "?a"
输出: false
解释: '?' 可以匹配 'c', 但第二个 'a' 无法匹配 'b'。

示例 4:

输入:
s = "adceb"
p = "*a*b"
输出: true
解释: 第一个 '*' 可以匹配空字符串, 第二个 '*' 可以匹配字符串 "dce".

示例 5:

输入:
s = "acdcb"
p = "a*c?b"
输出: false

分析

前言

本题与 10. 正则表达式匹配 非常类似，但相比较而言，本题稍微容易一些。因为在本题中，模式 p中的任意一个字符都是独立的，即不会和前后的字符互相关联，形成一个新的匹配模式。因此，本题的状态转移方程需要考虑的情况会少一些。

方法一：动态规划

思路与算法

在给定的模式 p 中，只会有三种类型的字符出现：

• 小写字母 a-z，可以匹配对应的一个小写字母；
• 问号 ?，可以匹配任意一个小写字母；
• 星号 *，可以匹配任意字符串，可以为空，也就是匹配零或任意多个小写字母。

其中「小写字母」和「问号」的匹配是确定的，而「星号」的匹配是不确定的，因此我们需要枚举所有的匹配情况。为了减少重复枚举，我们可以使用动态规划来解决本题。

我们用 $dp[i][j]$表示字符串 s 的前 i 个字符和模式 p 的前 j个字符是否能匹配。在进行状态转移时，我们可以考虑模式 p的第 j个字符 $p_j$，与之对应的是字符串 s 中的第 i 个字符 $s_i$：

class Solution {
    public boolean isMatch(String s, String p) {
        int m = s.length();
        int n = p.length();
        boolean[][] dp = new boolean[m + 1][n + 1];
        dp[0][0] = true;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            if (p.charAt(i - 1) == '*') {
                dp[0][i] = true;
            } else {
                break;
            }
        }
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                if (p.charAt(j - 1) == '*') {
                    dp[i][j] = dp[i][j - 1] || dp[i - 1][j];
                } else if (p.charAt(j - 1) == '?' || s.charAt(i - 1) == p.charAt(j - 1)) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(mn)，其中 m 和 n 分别是字符串 s 和模式 p的长度。
• 空间复杂度：O(mn)，即为存储所有 (m+1)(n+1) 个状态需要的空间。此外，在状态转移方程中，由于 $dp[i][j]$只会从 $dp[i][..]$以及 $dp[i-1][..]$ 转移而来，因此我们可以使用滚动数组对空间进行优化，即用两个长度为 n+1 的一维数组代替整个二维数组进行状态转移，空间复杂度为 O(n)。

方法二：贪心算法

// 我们用 sIndex 和 pIndex 表示当前遍历到 s 和 p 的位置
// 此时我们正在 s 中寻找某个 u_i
// 其在 s 和 p 中的起始位置为 sRecord 和 pRecord

// sIndex 和 sRecord 的初始值为 0
// 即我们从字符串 s 的首位开始匹配
sIndex = sRecord = 0

// pIndex 和 pRecord 的初始值为 1
// 这是因为模式 p 的首位是星号，那么 u_1 的起始位置为 1
pIndex = pRecord = 1

while sIndex < s.length and pIndex < p.length do
    if p[pIndex] == '*' then
        // 如果遇到星号，说明找到了 u_i，开始寻找 u_i+1
        pIndex += 1
        // 记录下起始位置
        sRecord = sIndex
        pRecord = pIndex
    else if match(s[sIndex], p[pIndex]) then
        // 如果两个字符可以匹配，就继续寻找 u_i 的下一个字符
        sIndex += 1
        pIndex += 1
    else if sRecord + 1 < s.length then
        // 如果两个字符不匹配，那么需要重新寻找 u_i
        // 枚举下一个 s 中的起始位置
        sRecord += 1
        sIndex = sRecord
        pIndex = pRecord
    else
        // 如果不匹配并且下一个起始位置不存在，那么匹配失败
        return False
    end if
end while

// 由于 p 的最后一个字符是星号，那么 s 未匹配完，那么没有关系
// 但如果 p 没有匹配完，那么 p 剩余的字符必须都是星号
return all(p[pIndex] ~ p[p.length - 1] == '*')

class Solution {
    public boolean isMatch(String s, String p) {
        int sRight = s.length(), pRight = p.length();
        while (sRight > 0 && pRight > 0 && p.charAt(pRight - 1) != '*') {
            if (charMatch(s.charAt(sRight - 1), p.charAt(pRight - 1))) {
                --sRight;
                --pRight;
            } else {
                return false;
            }
        }

        if (pRight == 0) {
            return sRight == 0;
        }

        int sIndex = 0, pIndex = 0;
        int sRecord = -1, pRecord = -1;
        
        while (sIndex < sRight && pIndex < pRight) {
            if (p.charAt(pIndex) == '*') {
                ++pIndex;
                sRecord = sIndex;
                pRecord = pIndex;
            } else if (charMatch(s.charAt(sIndex), p.charAt(pIndex))) {
                ++sIndex;
                ++pIndex;
            } else if (sRecord != -1 && sRecord + 1 < sRight) {
                ++sRecord;
                sIndex = sRecord;
                pIndex = pRecord;
            } else {
                return false;
            }
        }

        return allStars(p, pIndex, pRight);
    }

    public boolean allStars(String str, int left, int right) {
        for (int i = left; i < right; ++i) {
            if (str.charAt(i) != '*') {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    public boolean charMatch(char u, char v) {
        return u == v || v == '?';
    }
}

结语

在方法二中，对于每一个被星号分隔的、只包含小写字符和问号的子模式 $u_i$，我们在原串中使用的是暴力匹配的方法。然而这里是可以继续进行优化的，即使用 AC 自动机 代替暴力方法进行匹配。由于 AC 自动机本身已经是竞赛难度的知识点，而本题还需要在 AC 自动机中额外存储一些内容才能完成匹配，因此这种做法远远超过了面试难度。这里只给出参考讲义 [Set Matching and Aho-Corasick Algorithm](http://www.cs.cmu.edu/~ab/CMU/Week 10- Strings Search/print04.pdf)：

• 讲义的前 66 页介绍了字典树 Trie；
• 讲义的 7-197−19 页介绍了 AC 自动机，它是以字典树为基础的；
• 讲义的 20-2320−23 页介绍了基于 AC 自动机的一种 wildcard matching 算法，其中的 $wildcard\varphi$ 就是本题中的问号。

感兴趣的读者可以尝试进行学习。