一、概述

众所周知，计算机是由各种电子元器件组成的，其中半导体可以通过它的开关状态来传递和处理信息，所以我们可以用1和0分别表示开和关两种状态。逻辑电路通常只有接通和断开两种状态，所以我们以二进制来处理会非常方便。所谓二进制表示从0开始，“逢二进一”（N进制则逢N进一）。比如十进制的0、1、2的二进制表示为0、1 、10。

二、进制转换

网上有很多进制转换的方法，我这里就不多做阐述，只介绍一个我自己常用的简便方法（自认为简便o(╯□╰)o）。都知道，二进制表示中，1：表示2^0(即十进制1)，10：表示2^1(即十进制2)，100：表示2^2(即十进制4)......依次类推，所以111=100+10+1=2^2+2^1+2^0=4+2+1=7。于是，我们得出如下方法：

二进制->十进制： ，其中 n表示从低位往高位数的位数(从0开始)，x表示对应位数上的值(1或者0)，示例：101101=>1 * 2^0 + 0 * 2^1 + 1 * 2^2 + 1 * 2^3 + 0 * 2^4 + 1 * 2^5 = 1+0+4+8+0+32=45

十进制->二进制：相当于二进制转换十进制的反推，比如要将十进制数N转换为二进制：第一步,找到一个最接近且小于等于N的为2的乘方的数m（即m=2^x，x为整数），记录下来，二进制对应x位上即为1,；第二步，对N-m重复步骤一，知道N-m==1或0。示例，将十进制数168转换为二进制：

1、如果等于1或0，则直接输出，反之进行下一步

2、找到最接近且小于等于168的2的乘方的数为128（2^7），所以第7位为1，记录下来（10000000）；

3、然后对40（即168-128）重复0、1步骤，找到32（2^5），所以第5位为1，记录下来（10100000）；

4、然后对8（即40-32）重复0、1步骤，找到8（2^3），所以第3位为1，记录下来（10101000）；

5、然后对0重复1步骤（此时为0，直接输出0，表示第0位为0）

所以最终结果为：128+32+8 -> 10101000

运用熟练后，对不是特别大（这个多大才算大就因人而异了o(╯□╰)o）的十进制数都能做到快速的转换，比如237，可以不用动笔计算快速的得出结论：

237 -> 128+64+32+8+4+1 -> 然后从右往左直接写出结果：11101101

三、原码、反码、补码和存储

1、阐述

首先，前面我们讲了，计算机中只由1和0表示，当然包括我们常见的表示负数的符号"-"，规定：一个有符号二进制数，其最高位为符号位，1表示负，0表示正，剩余位才是数值域。所以一个字节(8位)，如果无符号可以表示2^8个(其范围为：0~2^8-1)不同的数（在计算机中可能是对应2^8个不同的状态），但是如果是有符号数，则需要牺牲最高位来表示符号位，所以虽然同样可以表示2^8个数，但是表示范围成了：-2^7 ~ 2^7-1。在此，对于原码、反码、补码，我先给出概念，下面再详细阐述，

正数：原码、反码、补码都是其本身

负数：原码=本身；反码=原码符号位不变，其它位取反；补码=反码+1，例：10010001：原=10010001 反=11101110 补：11101111

系统中二进制均以补码形式存在。

2、详解

我们用最高位表示符号位，的确能够在一定程度解决负数在计算机中的存储问题，但是运算时又发现了另一个问题。我们就简单的加减法运算举个例子：1 - 1 = 0，这个是毋庸置疑的，如果换成二进制（假设我们用8位存储），那么，-1的二进制为：10000001,1的二进制为：00000001，所以1 - 1 = -1 + 1 = 10000001 + 00000001 = 10000010 = -2，明显结果不对，所以符号位不能直接参与数的运算，而要处理又会非常麻烦；另外一方面，现在0这个数尴尬的出现了两种表现形式：00000000和10000000（分别为+0和-0），这没有什么意义。为了解决问题，人们机智的提出了补码的概念，接下来我们一步步阐述。

我们的程序员朋友在开发过程中，都会涉及到各式各样的数据类型，比如java中的byte、int、long等等(java中均为有符号数)。而且大家也熟知，byte占1个字节，int占4个字节，long占8个字节，这表示什么含义呢？举个例子，如果我们要把一个int类型的数强转为byte，可能会造成精度缺失，比如：130（int）在系统中的表示为：00000000 00000000 00000000 10000010，现在把130强转为byte，即执行如下操作：(byte)130，由于byte类型只能存储8位，所以结果只剩下低8位：10000010，而最高位表示符号位，这个明显已经是一个负数，现在我们按照进制转换规则求解：注意这个是补码形式，需要转换为对应的原码我们才好看出来是多少，按照原码-补码转换规则执行一次即可：10000010(补)->11111101(不是反码，只是一个中间数)->11111110(原码)，对应十进制数为：-126，所以 ，System.out.println((byte) 130)的输出结果为：-126。

有了上面的介绍，我们再来看二进制的加法运算。一个8位二进制数，暂时先不考虑符号位，其能表示的最大的值为：11111111(255)，如果现在在上述值的基础上加1，按照逢二进一的原则，则成了100000000，由于最多存储8位，所以结果成了：00000000，如果再加1，就成了00000001，依次类推。所以，在8位存储的背景下，如果我们从0开始一直不停的往上加1，其过程就会是这种形式：0,1,2...255,0,1,2,...255,0,1...，这样一直重复，是不是感觉一直在转圈圈？其实这个就和我们做模运算是一个道理。现在抛开二进制，举个简单的例子，咱们小学数学常见的分数，分母为4的分数：、、、、......等等可以表示为：、、、、、则表示：1 + ，即以4为周期过了1个周期，第二个周期到了四分之三处，表示余数，所以读作：一又四分之三，后面还会有二又四分之三、三又四分之三等等。

我们前面举的二进制例子和这个是同样的道理，11111111+1表示一个255周期满了，开始下一个周期，即"一个255又0"，但是我们只能存储8位，前面那个表示1个255的1，已经到了第9位，被直接丢弃了，所以结果为00000000。接着分数的例子，如果我们模拟丢弃高位的处理逻辑，把前面的系数丢弃，只保留余数，则成了：、、、、、、、.......。明显看出来这是一个“循环”，然后我们再来看这个“循环”，我们要把通过运算得到，有哪些方案？方案1： ，即向后移动1步；方案2： + ，即向前移动3步。之前在其他地方看到过一个例子：时钟。时钟的小时计数都是1~12,。假设我们要把指针从5点转到6点，可以顺时针转1个小时单位，也可以逆时针转11个小时单位。时钟里的12在数学中表示模，而1和11则互为补数。所以，这类结构数据的减法都可以使用加法来代替。

再谈补码：

还是假设使用8位存储，参照上面的例子（无符号数），其能表示的最大的数为255，如果再加1，最高位被丢弃，回到了0，所以其模为2^8=256，这样我们就可以把模的概念运用到二进制的运算中来，具体就是运用补数。再看我们之前遇到的问题,1-1则可以看做是1+(1的补数)，而1的补数=256-1=255即二进制形式的：11111111，所以1-1=00000001+11111111=100000000，最高位丢弃，结果为：00000000=0，这样计算就没有问题了。这里我们用11111111表示了-1，你可能已经看出来了，这就是-1（10000001）的补码。所以我们可以说，负数的补码，其实就可以看做是对应正数在当前模(n位，其模为2^n)下的补数(二进制形式)。

接下来我们回到有符号数

注：如果我们对一个正数的原码取反加一，就可以得到这个正数对应负数的补码，比如还是8位存储，十进制正数4，其二进制：00000100，取反：11111011，再加一：11111100，其 为 10000100（-4）的补码。

因此，一个8位二进制正数的补码范围为：00000001~01111111（1~127）,负数的补码范围(可通过对应正数的原码取反加一求得)为：10000001~11111111（-127~-1），再加上00000000，所以我们能表示的范围成了10000001~01111111(-127~127)。这里等等，细心的朋友可能发现了，上面表示的补码范围中，10000000呢？明显不可能直接丢弃。其实，我们可以先按照二进制运算规则来算一算：-127-1等于多少，当然从数学的角度明显等于 -128，那么从8位二进制的角度考虑呢？即 -127 -1 = 10000001(-127的补码)+11111111(-1的补码)= 110000000需要舍弃最高位，最终也得到10000000。所以我们可以把10000000表示为-128。 这样还同时解决了+0 和-0的问题，保证了数据的完整性，运算逻辑也没有问题。所以执行：System.out.println((byte)(127+1)),你得到的结果会是：-128，执行：System.out.println((byte) -(127 + 1))，结果也是：-128。就像我们把时钟从12点开始，顺时针转动12个小时单位和逆时针转动12个小时单位得到的结果是一样的。

如果上面的还是不好理解，可以看看下面的例子(仅仅用作辅助理解)：

一个8位存储的二进制数，我们用最高位表示符号位，数值域也就只剩下7位，能表示的最大的数就成了127(2^7-1)，即模=2^7=128。我们定义从0开始，往前走一步为+1，往后退一步为-1，形成循环0,1,2...127,0,1,2...，周期为128步。然后，我们就可以开心的举例子了：

8 - 6 = 8 + (6的补数) = 8 + (128-6) = 8 + 122 = 130：表示在8的基础上往前走121步，得到1个128又2：结果=2(等价于8往后退2步可以得到6，即8-2=6)；

6 - 8 = 6 + (8的补数) = 6 + (128 - 8) = 6 + 120 = 126：表示在6的基础上往前走120步，得到差2步到1个128：结果= -2（等价于6往前走2步可以得到8，即6+2=8），-2怎么表示呢？最高位表示为1即可表示负数：即10000010(原)。

这当然是非常“粗俗”的解释，我们把8-6和6-8的操作对应到计算机的实际运算过程：

1、8 - 6

首先，求得-6的补码，演示两种方式：

方式一(通过反码求补码)：-6->10000110（原）->11111001（反）->11111010(补)

方式二(通过正数原码取反加一)：6->00000110（原）->全部取反加一 ->11111010

然后和8(00001000)做加运算：00001000(补)+11111010(补)=1 00000010(补)，最高位丢弃：00000010=2(正数，原码==补码)

2、6-8

首先，求得-8的补码：8->00001000(原)->全部取反加一->11111000

然后和6(00000110)做加运算：00000110(补)+11111000(补)=11111110(补)，转换为对应的原码为：10000010(原) = -2

以上为本人个人理解，希望能帮到广大朋友，如有错误之处，恳请指正，谢谢！