买卖股票系列:
123. 买卖股票的最佳时机 III³
给定一个数组,它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意: 你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。
示例 1:
输入: [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出: 6
解释: 在第 4 天(股票价格 = 0)的时候买入,在第 6 天(股票价格 = 3)的时候卖出,这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
随后,在第 7 天(股票价格 = 1)的时候买入,在第 8 天 (股票价格 = 4)的时候卖出,这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
示例 2:
输入: [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天(股票价格 = 1)的时候买入,在第 5 天 (股票价格 = 5)的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票,之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易,你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3:
输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
public int maxProfit(int[] prices) {
int n = prices.length;
if (n < 2) return 0;
// 状态定义
// 注:3是交易次数,虽然题上要求是2次,但还要考虑不交易的情况。即可以交易0,1,2次。
// 再强调一次,这里说的交易是完成一买一卖,所以交易次数也可以理解成卖出次数
int[][][] mp = new int[n][3][2];
// 初始状态
// 这里我们要初始的是第一天mp[0][][]的全部情况(6种=2*3)
mp[0][0][0] = 0; // 第一天不做操作
mp[0][0][1] = -prices[0]; // 第一天买入股票
mp[0][1][0] = 0; // 第一天一买一卖,相当于没操作
mp[0][1][1] = -prices[0]; // 第一天一买一卖后再买入
mp[0][2][0] = 0; // 第一天一买一卖两次,实际上操作了个寂寞
mp[0][2][1] = Integer.MIN_VALUE; // 买卖两次已经到达上限了,即使他还持有股票也卖不了(这种情况实际不允许存在,所以不写其实也行,但为了完整就写上了)
// 状态递推
// 注:三维状态照理说要三重循环,但是k、j一共就只有6种排列组合,所以直接枚举出来了
for (int i = 1; i < n; i++) {
mp[i][0][0] = mp[i-1][0][0]; // 永远是0,其实没必要递推(提交时可以注释掉)
mp[i][0][1] = Math.max(mp[i-1][0][1], mp[i-1][0][0] - prices[i]);
mp[i][1][0] = Math.max(mp[i-1][1][0], mp[i-1][0][1] + prices[i]);
mp[i][1][1] = Math.max(mp[i-1][1][1], mp[i-1][1][0] - prices[i]);
mp[i][2][0] = Math.max(mp[i-1][2][0], mp[i-1][1][1] + prices[i]);
mp[i][2][1] = Integer.MIN_VALUE; // 没实际意义,没必要递推(提交时可以注释掉)
}
// 最终状态
return mp[n-1][2][0];
}
188. 买卖股票的最佳时机 IV³
给定一个数组,它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。
注意: 你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)。
示例 1:
输入: [2,4,1], k = 2
输出: 2
解释: 在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入,在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出,这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。
示例 2:
输入: [3,2,6,5,0,3], k = 2
输出: 7
解释: 在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入,在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
随后,在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入,在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
这种是最通用的情况,对于每一天需要使用不同的 k 值更新所有的最大收益,对应持有 0 份股票或 1 份股票。如果 k 超过一个临界值,最大收益就不再取决于允许的最大交易次数,而是取决于股票价格数组的长度,因此可以进行优化。那么这个临界值是什么呢?
一个有收益的交易至少需要两天(在前一天买入,在后一天卖出,前提是买入价格低于卖出价格)。如果股票价格数组的长度为 n,则有收益的交易的数量最多为 n / 2(整数除法)。因此 k 的临界值是 n / 2。如果给定的 k 不小于临界值,即 k >= n / 2,则可以将 k 扩展为正无穷,此时问题等价于情况二。
class Solution {
// 将上面123题代码改造一下
public int maxProfit(int k, int[] prices) {
int n = prices.length;
if (n < 2) return 0;
// 如果k>=n/2那就相当于是k无限制
if (k >= n/2) {
return maxProfit(prices);
}
// 状态定义
// 注:k+1是因为还要把0算进来
int[][][] mp = new int[n][k+1][2];
// 初始状态
// 同上一题,都是初始第一天(i=0)
for (int kk = 0; kk < k; kk++) {
mp[0][kk][0] = 0; // 不买
mp[0][kk][1] = -prices[0]; // 买
}
// 状态递推
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int kk = 0; kk <= k; kk++) {
// 注:由于mp[kk-1]可能出现[0-1]的情况,所以要先判断
mp[i][kk][0] = kk > 0 ? Math.max(mp[i-1][kk][0], mp[i-1][kk-1][1] + prices[i]) : mp[i-1][kk][0];
mp[i][kk][1] = Math.max(mp[i-1][kk][1], mp[i-1][kk][0] - prices[i]);
}
}
// 最终状态
return mp[n-1][k][0];
}
// 上面122题的代码
public int maxProfit(int[] prices) {
int n = prices.length;
if (n < 2) return 0;
int mp_0 = 0, mp_1 = -prices[0];
for (int i = 0; i < n; i++) {
int tmp = mp_0;
mp_0 = Math.max(mp_0, mp_1 + prices[i]);
mp_1 = Math.max(mp_1, tmp - prices[i]);
}
return mp_0;
}
}
再放个参考链接…,他里面是k的定义是买入股票次数
剩下两个股票问题请看下一篇:【必备算法】动态规划:LeetCode(八)309. 最佳买卖股票时机含冷冻期,714. 买卖股票的最佳含手续费…
本文标题:【必备算法】动态规划:LeetCode题(八)123. 买卖股票的最佳时机 III,188. 买卖股票的最佳时机 IV
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